Выражение в квадратных скобках можно представить математически, но вряд ли это нужно большинству людей. Это называется коэффициент аннуитета, или аннуитетный коэффициент дисконтирования, точное название не столь важно. В примере выше этот коэффициент равен 3,7908.
Дисконтирование и наращение
Дисконтирование и наращение применяются не только к одному денежному потоку, но и к последовательности денежных потоков, при этом денежные суммы могут быть любыми по величине. Частным случаем таких множественных денежных потоков и являются аннуитеты.
Что такое аннуитет?
В викторианскую эпоху все английские аристократы жили на проценты со своего капитала. Чем больший капитал лежал в банке, тем большие средства можно было потратить на жизнь и при этом не работать. Капитал переходил по наследству, и теоретически (если бы не было банкротств банков, войн и инфляции) так могло бы продолжаться вечно.
При пояснении отметим, что i – банковская ставка, начисляемая ежемесячно (её можно узнать, разделив процент годовой ставки на 1 год), а n – количество периодов, по окончании которых и будет выплачена вся сумма кредита. Учитывая то, что оплата по кредиту должна производиться каждый месяц, то и процентная ставка, начисляемая на сумму платежа также должна быть месячной (т.е. : i = 12% / 12 месяцев %). Таким образом, зная все составляющие, можно посчитать сумму аннуитетного платежа.
Для того чтобы было понятнее, приведём пример расчета платежа по вышеуказанной формуле. К примеру, вы решили оформить кредит на покупку квартиры. При этом срок кредитования составил 3 года, сумма кредита – 30 000 рублей, а количество процентов по предоставленному банковскому займу равно – 18% годовых, с учётом ежемесячных платежей. У нас вышли следующие данные: S = 30 000 рублей, а i = 1,5% (18 %/12 месяцев) = 0,015, а также n = 36 (3 года * на 12 месяцев).
Для вычисления коэффициента аннуитета необходимо эти цифры подставить в формулу:
К = 0,015*(1+0,015) 36 / (1+0,015) 36 — 1; К = 0,03615
Сумма же ежемесячных выплат будет равна:
A = S*К =30000 * 0,03615 = 1084,57 рублей
Формула аннуитетной схемы платежа
Для начала определимся с понятием. Аннуитетный платёж – это сумма выплат, осуществляемая заёмщиком по кредиту. При этом данный способ оплаты подразумевает начисление ежемесячных платежей в равных суммах (т.е. в течение всего кредитного периода погашение кредита при ипотеке или любом другом виде займа происходит равными частями, с учётом процентов). Кроме того, рассчитываясь с банком по аннуитетной схеме, заемщик, таким образом, увеличивает каждый месяц сумму основного займа и уменьшает ту, которая идёт на досрочное погашение процентов по кредиту. Для самого финансового учреждения выгоднее предложить своему клиенту именно данную методику оплаты, потому как она приносит большую прибыль, чем при оплате по альтернативным схемам. Заёмщику также удобно следовать данному плану, потому как ему не нужно каждый раз звонить в банк и узнавать сумму ежемесячных платежей. Ещё один вариантом оплаты является дифференцированный платёж – это вид выплат напоминает метод перевёрнутой пирамиды, с начала сумма оплаты большая, но постепенно она уменьшается. То есть сумма ежемесячного платежа будет напрямую зависеть от общей суммы долга по кредиту. Например, вы выплатили уже около 80% всего банковского займа, тогда процент за оставшиеся 20% будет равен 20 у.е.
«Ребята, вы попали на деньги! Ничего не поделаешь, это жизнь! Предлагаем вам на время (а может и навсегда) стать нашим рабом – будете ежемесячно выплачивать проценты по кредиту, а сам долг погашать не надо (ну, чтобы сумма выплат по процентам не уменьшалась). Ничего личного – это просто бизнес, друзья!»
Итак, мы с вами проанализировали график аннуитетных платежей. Осталось понять, как вычисляется процентная доля и доля тела кредита в ежемесячных выплатах. Вот почему в первый месяц проценты составляют именно 917 рублей, во второй – 848 рублей, в третий – 777 рублей и т.д.? Хотите узнать? Тогда читайте дальше!
График погашения кредита аннуитетными платежами
Итак, друзья, вот мы и добрались до самого интересного – до формул и расчетов, связанных с аннуитетными платежами. Хотя врём, данная тема скучна и неинтересна. Кто не «дружит» с математикой может сейчас начать зевать, а на определённом этапе – впасть в ступор.
Обычно аннуитетный график погашения кредита составляет банк, обработав заявку от клиента. Еще раньше «прикинуть» размер платежа помогают онлайн-калькуляторы. Вбив в них основные параметры — величину займа, ставку, срок и дополнительный функционал — заемщик видит развернутую схему оплаты.
Загвоздка состоит в структуре платежа. При аннуитете первая половина кредита будет погашать преимущественно проценты банку, а на основной долг придется минимум средств. К концу кредита баланс изменится, и почти весь транш будет уходить на задолженность. Такая схема наиболее выгодна кредитной организации, но для клиента она означает ровно одно — весомую переплату по ссуде.
Что значит аннуитетный способ погашения кредита
Более детально объяснять расчет аннуитетного платежа лучше на примере. Представим, что некий заемщик берет в кредит 850 000 рублей по ставке 16%. Продолжительность выплат — два года. Какой минимальный платеж и итоговая переплата ожидают этого клиента?
При дифференцированном способе погашения задолженности часть основного кредита не меняется (конечно, если не допускать просрочек и иных нарушений). Процентная составляющая уменьшается каждый месяц. А поскольку сумма долга становится ниже, то, соответственно, становятся ниже и начисляемые проценты.
Пример расчета аннуитетного платежа
Уже со второго месяца дифференцированный платеж уменьшится на 27 777,78 рубля, то есть проценты будут начисляться не на первоначальные 500 000 рублей, а на 472 222,22 рубля. Поскольку следующий платеж должен быть 1 августа, то произведем расчет процентов, взяв 31 день (считаем платеж за второй месяц, июль, в котором 31 день):
Пример расчета дифференцированного платежа
Уменьшение срока кажется более правильным решением, поскольку чем меньше заемщик пользуется кредитными средствами, тем меньше процентов он должен отдать банку. Однако здесь есть важный нюанс, о котором многие забывают – при уменьшении сроков возрастает риск того, что заемщик не справится с финансовой нагрузкой и дойдет до собственного дефолта.
Пусть был взят кредит в размере 100 000руб. на 10 лет под ставку 9%. Кредит должен гаситься ежемесячными равными платежами (в конце периода). Требуется вычислить сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат. Решение простое – используйте функцию ОСПЛТ(): =ОСПЛТ(9%/12;25;10*12;100000) Ставка за период (ставка): 9%/12 Номер периода (первый месяц третьего года выплат): 25=2*12+1 Всего периодов (кпер): 10*12 Кредит: 100000 Сумма основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат: -618,26руб.
Аргументы функции: Ставка (rate, interest). Процентная ставка за период , чаще всего за год или за месяц. Обычно задается через годовую ставку, деленную на количество периодов в году. При годовой ставке 10% месячная ставка составит 10%/12. Ставка не изменяется в течение всего срока аннуитета. Кпер (nper). Общее число периодов платежей по аннуитету . Если кредит взят на 5 лет, а выплаты производятся ежемесячно, то всего 60 периодов (12 мес. в году*5 лет) ПЛТ (pmt, payment). Регулярный платеж, осуществляемый каждый период . Платеж – постоянная величина, она не меняется в течение всего срока аннуитета. Бс (fv, future value). Будущая стоимость в конце срока аннуитета (по истечении числа периодов Кпер). Бс — требуемое значение будущей стоимости или остатка средств после последней выплаты. Например, в случае расчета аннуитетного платежа для полной выплаты ссуды к концу срока Бс = 0, т.к. ссуда в конце срока должна быть полностью погашена. Тип (type). Число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата (и соответственно начисление процентов). 0 – в конце периода, 1 – в начале. Подробнее о постнумерандо и пренумерандо см. в разделе Немного теории в статье об аннуитете .
Синтаксис ПС()
Функция ПС(ставка; кпер; плт; [бс]; [тип]) позволяет определить сумму кредита, на которую можно рассчитывать, зная сумму ежемесячного платежа, срок кредита и процентную ставку. Функцию ПС() можно использовать также если требуется определить начальную сумму вклада, которую нужно положить на счет, чтобы через определенное количество лет получить желаемую сумму (ставка и период капитализации процентов известен).
Основной плюс – погашение происходит небольшими суммами. Это снимает чрезмерную финансовую нагрузку на бюджет гражданина. Обычно за кредитами обращаются те частные лица, кто не располагает возможностью тратить большие объёмы средств, так что для них важен момент размера выплат.
Подобный подход позволяет кредитно-финансовому учреждению высчитывать ставку с более крупной суммы. Это и отличает аннуитетный платёж от дифференцированного. Данный нюанс даёт возможность понять, что аннуитет увеличивает сроки выплат и сумму, уходящую в счёт уплаты процентов. Как итог имеет место серьёзная переплата.
Покрытие процентной ставки – вычет средств
Каждый клиент должен сам решить для себя, как ему выгоднее рассчитываться с кредитно-финансовым учреждением: медленно, но менее болезненно с денежной точки зрения, или быстро, но с существенной нагрузкой на бюджет.
Сначала рассчитывают ставку на месяц: 22/12/100 = 0,0183. Затем подставляют все показатели в стандартную формулу: 40 000 х (0,0183/(1−1 (1+0,0183)) возведённое в степень (-24)). В результате получится определённая сумма — 2075,13 р. Это регулярный платёж, который должен будет вносить клиент на счёт банка.
Формула расчёта
При этом банк получает ставку с большей суммы, чем при дифференцированной системе. Переплата по кредиту с аннуитетными выплатами будет больше, так как процесс погашения всего долга более растянут. Но при этом заёмщик может контролировать размеры взносов и по возможности увеличивать их, сокращая свои расходы.
Процентная ставка
Если брать предыдущие данные по кредиту, то регулярный платёж составляет 2075 рублей, при первой выплате эти средства переходят на погашение процентов. Клиент может применить такую формулу: Сз х Мпс, где Сз — это задолженность, а Мпс — месячная ставка. Так как взнос будет первый, то изначально сумма кредита составит 40 000 рублей. Рассчитывается по формуле сумма, которая отчисляется в счёт погашения ставки: 40 000 х 0,0183 = 723. Во время второй выплаты тело кредита уменьшается на это число: 38 657 х 0,0183 = 707 (второй платёж).
- Аннуитет — это государственный срочный заем определенного типа, по которому происходит ежегодная выплата некоторой части основного долга и проценты за использование самого займа.
- Равные между собой денежные платежи, выплата которых предполагается через равные временные промежутки. Причем такие платежи включаются в себя сумму, идущую на погашение части основного долга, и сумму, идущую в счет уплаты процентов.
- Понятие аннуитета используется и в страховании, в частности, при страховании жизни. В этом случае подразумевается договор, который физическое лицо заключает со страховой компанией. Подобный договор предоставляет физическому лицу право на получение регулярных выплат при наступлении ранее согласованного времени. Например, после выхода на пенсию.
- График аннуитета можно использовать и для того, чтобы к определенному моменту накопить заданную денежную сумму. При этом предполагается внесение равнозначных вкладов на депозитный счет, по которому совершается начисление вознаграждения.
Примеры аннуитета
Альтернативная схема, которая называется дифференциальной, предполагает ежемесячный перерасчет суммы платежа. Это приходится делать потому, что при подобной схеме каждый месяц происходит уменьшение суммы основного долга, соответственно, и процентов за использование меньшей суммы приходится платить меньше. То есть каждый последующий платеж будет меньше предыдущего. Однако первые платежи при подобной схеме получаются очень высокими, а это может позволить себе не каждый заемщик.
Недостатки аннуитета
Аннуитет, или, как его еще называют, финансовая рента, — это обобщенный термин, описывающий график, по которому происходит погашение какого-либо финансового инструмента, причем понятие аннуитета подразумевает выплату не только некоторой части по основному долгу, но также выплату вознаграждения – процентов за его использование. Основной особенностью аннуитета является то, что выплаты в этом случае равны друг другу и производятся через абсолютно равные временные промежутки. График аннуитета достаточно сложен. Он существенно отличается от графика, который отражает выплату положенной суммы в полном объеме и по окончании срока, в течение которого действовал инструмент, и от графика, отражающегося периодическую выплату только процентов и процесс погашения суммы в счет основного долга по окончании действия инструмента. Существует специальная формула аннуитета. Приведем ее ниже.
Для сравнения, при дифференцированной схеме погашения кредита сумма основного долга выплачивается ежемесячно равными долями, а проценты рассчитываются от остатка задолженности. В таком случае сумма ежемесячного платежа уменьшается в процессе погашения кредита.
Как рассчитать ежемесячный платёж?
Предположим, что нужно провести расчёт ежемесячного платежа по кредиту с аннуитетным графиком погашения под процентную ставку 48% годовых сроком на 4 года на сумму 2 000 рублей. Используя приведённую выше формулу расчёта ежемесячного платежа (A = K • S) и коэффициента К, рассчитаем аннуитетный платёж.
Пример расчёта аннуитетного платежа
В первую очередь аннуитетный способ погашения выгоден банку. Объясняется это тем, что в течение всего срока погашения кредита проценты начисляются на первоначальную сумму кредита. При дифференцированной графике уплата процентов за 100% суммы кредита происходит только в первом месяце (в случае отсутствия отсрочки уплаты основного долга), далее проценты начисляются на остаток, из-за чего итоговая переплата по кредиту окажется меньше. Иными словами, среди двух кредитов с одинаковыми процентными ставками, сроком погашения и дополнительными комиссиями, кредит с аннуитетной схемой погашения всегда будет дороже.
Несколько сложнее обстоит дело с частичным досрочным погашением. Здесь есть два варианта: погашение в уменьшение основного долга и погашение в уменьшение срока займа.
Одним из важнейших нюансов, на которые стоит обратить особое внимание перед получением кредита – это порядок расчетов по нему. От того, какую схему погашения долга выберет заемщик, зависит конечная сумма переплаты. Сейчас широко распространена аннуитетная схема платежей.
Как рассчитывается?
Если вы не хотите вникать в тонкости расчетов по данной формуле, можете воспользоваться формой для автоматического расчета платежей. Иначе говоря, онлайн-калькулятором.
Британское правительство когда-то выпускало форму ценных бумаг, называемых «консолями» (англ. ‘consol bond’). Это — бессрочные облигации (англ. ‘perpetual bond’), которые обеспечивают равные денежные выплаты в течение неограниченного срока.
Как вычислять текущую стоимость (PV) бесконечной серии равных денежных потоков — бессрочный аннуитет?
В ситуации с перпетуитетом число периодов бесконечно. В этом случае мы предоставляем бессрочное обязательство производить платежи, и эти платежи имеют одинаковую сумму. Тем не менее, первая (1) часть перпетуитета отсрочена и выплачивается при t = 5; после этого платежи продолжаются бесконечно.
Пример расчета текущей стоимости обычного аннуитета как разницы между текущей стоимостью (PV) и прогнозируемым (отсроченным) перпетуитетом.
Если мы рассчитаем перпетуитет, начинающийся с платежа в размере $100 на 2-й год, то мы получим PV1 = $ 100 / 0,05 = $2 000 при 5%-й ставке. Кроме того, мы можем рассчитать PV на текущую дату как PV = $2,000 / 1.05 = $ 1,904.76.
- Сумму, которая идет на погашение основного долга. Она остается неизменной.
- Проценты за пользование заемными средствами, начисляемые на остаток задолженности. Эта часть будет уменьшаться по мере исполнения обязательств по договору.
В то же время, знать разницу между дифференцированными и аннуитетными платежами нужно. Она заключается в применяемой системе расчета и как следствие — структуре ежемесячного взноса. Не секрет, что платеж состоит из двух частей: суммы, направляемой на погашение основного долга, и процентов.
Аннуитетный платеж
- Определение размера основного платежа.
Для этого используем формулу: b = S / n, где:- b — сумма, перечисляемая для погашения тела займа;
- S — сумма кредита по договору;
- n — срок в месяцах.
- Вычисление текущего остатка задолженности.
Sn = S — (b * n), где:- Sn — размер оставшегося долга;
- n — количество оплаченных взносов.
- Определение суммы начисленных процентов.
р = Sn * P / 12, где:- p — сумма, списываемая в счет погашения процентов;
- Sn — текущий остаток задолженности;
- P — процент годовых;
- 12 — количество месяцев в году.
